Poliedros e não-poliedros

1. Definição de poliedro

Poliedro é um sólido geométrico que tem todas as superfícies planas (prismas, pirâmides e outros).

2. Elementos de um poliedro

Um poliedro tem vértices, arestas e faces (bases e faces laterais).

Num prisma:

• existem 2 bases
• o nº de faces laterais é igual ao nº de lados da base
• o nº de arestas é o triplo do nº de lados da base
• o nº de vértices é igual ao dobro do nº de lados da base

Numa pirâmide:

• existe apenas 1 base
• o nº de faces laterais é igual ao nº de lados da base
• o nº de arestas é o dobro do nº de lados da base
• o nº de vértices é mais 1 que o nº de lados da base

3. Classificação de prismas e pirâmides

Os prismas e as pirâmides classificam-se pelo polígono da base.

4. Poliedros regulares

Poliedros regulares são sólidos cujas faces são polígonos regulares e geometricamente iguais.

Platão (sábio grego que viveu por volta dos 400 anos a.C) foi quem estudou os polígonos regulares e por isso são designados sólidos de Platão e estavam relacionados na Grécia Antiga às forças da Natureza.

• Tetraedro (4 faces) – o Fogo
• Cubo (6 faces) – a Terra
• Octaedro (8 faces) – o Ar
• Dodecaedro (12 faces) – a Água
• Icosaedro (20 faces) – o Universo

5. Definição de não-poliedros

Não-poliedros são sólidos geométricos que têm pelo menos uma superfície curva (cone, cilindro, esfera e outros).

6. Elementos de não-poliedros

Um não-poliedro pode ser constituído apenas por uma superfície curva (esfera) ou pode apresentar também superfícies planas. Depende do não-poliedro poderá ter bases e vértices.

Definição

A seguinte definição nos dá uma idéia do que é poliedro, então definiremos assim:

“Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono”.

Vejam os seguintes exemplos:

OBS: Podemos também encontrar como definição para poliedros, o seguinte: É um sólido limitado por polígonos, que tem, dois a dois, um lado comum.
Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas, chamadas de faces. Cada lado de uma região poligonal, comum a exatamente duas faces, é chamada aresta do poliedro. E cada vértice de uma face é um vértice do poliedro. Veja:

Fig. 01

Poliedro convexo e Poliedro não-convexo

Observe as figuras abaixo:

Qual dessas figuras você classificaria como poliedro convexo e como poliedro não convexo?
A resposta para essa indagação fica mais fácil quando temos conhecimento de que:

“Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos”.

Logo, podemos concluir, que o poliedro convexo está representado pela figura 02, e a figura 03 é um exemplo de poliedro não-convexo.

Teorema de Euler

O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértice (V), o número de aresta (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
O teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas continham falhas (como a de Cauchy), que foram descobertas muitos anos mais tarde. Essas falhas eram devidas à falta de precisão na definição de poliedro. Mesmo Euler nunca se preocupou em definir precisamente essa palavra.
Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação:

V - A + F = 2

Exercícios Resolvidos

1º) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Resolução:
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 . 5  = 60
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6  = 120, logo:  F = 12 + 20 = 32
Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:
2A = 60 + 120
A = 90
Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
V – A + F = 2, portanto:
V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60
Assim, o número de vértices é 60.
2º) Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.
Resolução:
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 . 4 = 24
O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 . 3 = 12
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é:  A = (24+12)/2 = 18
Temos então F  = 10, A = 18.
Aplicando a relação de Euler:
V – A + F = 2
V – 18 + 10 = 2
V = 10
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.

Exercícios para praticar

1º) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.
2º) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é:
a) 4                  b) 12                c) 10                d) 6                  e) 8

Atenciosamente, Professor Leonardo Bezerra.