Dízima periódica

As dízimas periódicas fazem parte do conjunto dos Números Racionais, o mesmo é representado pelo símbolo . Esse conjunto é formado pela reunião dos números: naturais, inteiros, decimais, frações e dízima periódica. A representação simbólica desse conjunto é dada por:

A dízima periódica é um número decimal que possui repetição de termos numéricos depois da vírgula. A partir da dízima periódica é possível obter a fração que a gerou, ela é chamada de Fração Geratriz.
O número que repete infinitamente na dízima periódica é chamado de período, o mesmo pode ser do tipo simples ou composto.

Período simples

Quando a dízima periódica é do tipo simples, o seu período é composto por um mesmo número ou conjunto de números que se repeti infinitamente.
Exemplo:

• 0,222... Período simples igual a 2
• 1,2424... Período simples igual a 24

Período composto

Uma dízima periódica é considerada composta, quando a mesma apresenta um anteperíodo que não se repete.
Exemplo:

• 0,2444... anteperíodo igual a 2 e período igual a 4
• 4,3522... anteperíodo igual a 35 e período igual a 2

Vamos agora aprender como transformamos dízima periódica simples e composta em fração.

Transformação de dízima periódica simples em fração

Para realizarmos essa transformação, devemos utilizar o período como numerador da fração e o denominador será formado pelo dígito 9. O que determina a quantidade de dígitos 9 que serão utilizados é a quantidade de termos do período. Observe os exemplos:
Exemplo 1: Transforme a dízima periódica 0,222... em fração.

O numerador da fração é 2, pois ele é o período da dízima. Já o denominador é 9, pois o período e composto por somente um número.
Exemplo 2: Transforme a dízima periódica 1,2424... em fração.
Como a dízima possui uma parte inteira temos que destaca-la, fazendo a fração somente da parte decimal.

Nessa dízima periódica, o período é representado por 24, por esse motivo ele é o numerador. Já o denominador e 99, por que o período é composto por dois números.
Note que é uma fração mista, podemos transformá-la em uma fração imprópria:

Transformação de dízima periódica composta em fração

Para transformarmos uma dízima periódica composta em fração, devemos descobrir o número referente ao numerador e denominador. O numerador será formado pela seguinte subtração:
(Anteperíodo com período) – (anteperíodo)
Já o denominador é formado por 9 e 0, sendo que o 9 será a quantidade de dígitos do período e o zero a quantidade de dígitos do anteperÍodo. Para compreender melhor como realizamos essa transformação, acompanhe o exemplo a seguir:
Exemplo 3: Transforme a dízima periódica composta 0,2444 em fração geratriz.
Anteperíodo = 2
Quantidade de 9 no denominador: 1
Período = 4
Quantidade de 0 no denominador: 1
Fração Geratriz

 

Não entendeu? Revise aqui!

Dízima Periódica: Questões resolvidas e teoria

     Nesse artigo estudares definição, classificação e exercícios sobre dízima periódica

        Definição

Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente.

Exemplos:

7/3 = 2,333

         1/9 = 0,111111111…

        Classificação

As dízimas periódicas são divididas em:

Dízimas periódicas simples: Ocorre Quando o período aparece logo após à virgula.

Exemplos:

2/3 = 0,6666666……. Período: 6 

4/33 = 0,1212121212121212.... Período: 12

Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. 

Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.

Exemplos: 44/45 = 0,977777…. Período: 7 , Parte não periódica: 9

                 35/36 = 0,972222…. Período: 2 , Parte não periódica: 

          Formação de uma fração geratriz

Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.

Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.

         Geratriz de uma Dízima Periódica Simples

          Exemplo 1:

   ► 1 algarismo (se ocorre a repetição de um algarismo na dizima periódica simples, no exemplo foi o 5, o número 9 deve ser acrescido no denominador).

Exemplo 2:

0,595959... = 59/99 ► 2 algarismos (se ocorre a repetição de dois algarismos na dízima periódica simples, no exemplo foi o 59,  mais um número 9 deve ser acrescido no denominador ficando então, o 99).

Exemplo 3: 

0,557557557... = 557/999 ► 3 algarismos (se ocorre a repetição de três algarismos na dízima periódica simples, no exemplo foi o 557, mais um número 9 deve ser acrescido no denominador ficando então, o 999).

Geratriz de uma Dízima Periódica Composta

           Exemplo1:  0,27777…
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) – (parte inteira com antiperíodo)

Assim:

       Exemplo 2: 2,4732121212… (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)

Exercícios  resolvidos Dízimas Periódicas 

1) Qual a fração geratriz da dízima periódica 0,12343434...?      

X = 0,123434…
100x = 12,3434… (isolamos o período na parte decimal)
Multiplicamos por 100 (pois o período tem dois algarismos)
10.000x = 1234,3434…
10.000x – 100x = 1234,3434… – 12,3434…
9900x = 1222
x = 1222/9900
x = 611/4950

2) determine a fração geratriz da dízima periódica 0,23333...

Obrigado pela leitura, um grande abraço e até a próxima! 

Professor Leonardo Bezerra