Potências

Introdução à história

 A ideia de potência é muito antiga e desde tempos remotos suas aplicações facilitaram a vida humana auxiliando, tornando possíveis muitas representações matemáticas e solucionando problemas de elevado grau de complexidade. Assim como todas as descobertas do homem, a equação possibilitou novos horizontes e permitiu a expansão dos conhecimentos humanos norteando viagens inimagináveis pelos campos abstratos da matemática e alicerçando ciências afins como a astronomia, física, química e biologia.

Conceitos antigos dos quais se têm registros datam do século III a.C. através do astrônomo e inventor Arquimedes em sua tentativa de calcular quantos grãos de areia seriam necessários para encher o universo. Nessa época, tinha-se a ideia de que as estrelas limitavam o nosso universo dando-lhe um formato esférico e, ao calcular o volume dessa esfera astronômica, chegaria ao resultado desejado. Após longo estudo e dedicação, Arquimedes conseguiu encontrar um resultado assombrosamente grande em termos de representação numérica e soube que seria impossível demonstrar sua resposta para que outros conseguissem compreendê-la.

Após séria análise detalhada dos números que apareciam no cálculo do volume da esfera gigante, Arquimedes percebeu um fato curioso: havia uma grande repetição de multiplicações que envolviam o número 10. Surgiu então a ideia de representar sua resposta usando potência de base 10. Hoje utilizada como notação científica e aplicada a várias áreas do conhecimento humano, através da potência de base dez, podemos escrever a resposta conquistada por Arquimedes como 10⁶³.

Toda notação moderna que se tem de potência teve fundamento com o Matemático francês René Descartes (1596-1650) no século XVII. Descartes, além de suas contribuições referentes à potenciação é também conhecido como Pai da Filosofia e da Matemática Modernas.

Onde estão as potências?

A resposta à pergunta anterior seria em nosso cotidiano.  Acompanhem alguns exemplos a seguir:

• Um jogo de xadrez é formado por um tabuleiro tipo 8 x 8 e representa uma matriz quadrada de ordem 8. Podemos calcular o número de casas desse tabuleiro utilizando conhecimentos sobre potência. Para isso, elevamos o número de linhas (8) ao número de colunas (8), ficando 8² = 64.
• Num sítio, as laranjas extraídas periodicamente, são embaladas em forma cúbica: 4 laranjas no comprimento, 4 na largura e 4 na altura. Se desejarmos saber quantas dessas frutas têm nesses cubos, elevamos ao 4, o número de vezes que ele se repete (3), ficando 4³ = 64.

Lembro aos caros leitores que o objetivo do artigo não é apenas mostrar as aplicações das potências em nosso cotidiano, e sim, mostrar-lhes os seus conceitos, propriedades e resoluções, a fim de que abstraiam esses conhecimentos e utilizem-no para tornar suas vidas mais práticas. Quando conseguimos compreender bem um conteúdo, saberemos onde melhor se encaixará a sua aplicação.

Definição e resolução

Potência é todo número na forma aⁿ, com a ≠ 0.

a é a base, n é o expoente e aⁿ é a potência.

aⁿ = a x a x a x a x...a (n vezes)

Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a⁰ = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a¹ = a.

Exemplos

2¹ = 2                          54⁰ = 1                              4⁴ = 256                             5³ = 125

Potência de base racional

Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado.

Exemplo

Potência de expoente negativo

A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.

Exemplos

Multiplicação de potências de mesma base

Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes.

a­^m . aⁿ  =  a^{m + n}

Exemplos

Divisão de potências de mesma base

Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes.

a^m : aⁿ = a^{m – n}, com a ≠ 0.

Exemplos

Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente

Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão.

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Exemplos

(5 . 6)⁴ → 5⁴ . 6⁴                                         (0,2 . 1,3)³ → (0,2)³ . (1,3)³

Divisão de expoente igual

Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Exemplos

(9 : 8)⁵ = 9⁵ : 8⁵                                                 (2,3 : 0,1)² = (2,3)² : (0,1)²

Potência de potência

Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Exemplos

(2³)⁴ → 2^{3 . 4} = 2¹²                                             [(1/5)²]⁵ → (1/5)^{2 . 5} = (1/5)¹⁰

Potência de base 10

A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.

Exemplos

10⁵ = 100000 (5 zeros)

10⁷ = 10000000 (7 zeros)

10³ = 1000 (3 zeros)

Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.

10^-2 = 0,01 (2 casas decimais)

10^-5 = 0,00001 (5 casas decimais)

Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.

Um bom exercício de revisão para a prova: http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/potenciacao

Obrigado pela leitura, um grande abraço e até a próxima! 

Professor Leonardo Bezerra

Origem do sistema de numeração decimal, egípcio e romano

1. Introdução

O zero sempre existiu?

2. Origem do sistema de numeração decimal

Contar [do latim computare]: calcular, fazer contas, estimar, avaliar, numerar, recensear, marcar, registrar. Contagem: ação de contar, cômputo, apuração, escore.

Já vimos que um sistema de numeração se constitui de regras, utilizando-se de símbolos para representar os números.

O sistema de numeração decimal ou de base 10 que usamos nos dias de hoje não foi criado de um dia para outro.

A necessidade de contar fez com que os homens criassem modos de comparar quantidades; por exemplo: como contar ovelhas de um rebanho e saber se nenhuma se havia desgarrado. Podia-se associar uma pedra com uma ovelha, ou com um pedaço de madeira entalhado ou com um dedo da mão ou um nó de corda. Veja os exemplos ao lado.

Como contar grandes quantidades?

Com o surgimento da escrita, tudo se tornou mais fácil e foram aparecendo diferentes sistemas de representar grandes quantidades. Isso fez com que alguns sistemas de numeração caíssem em desuso, devido à forma de representação e à grande quantidade de repetições de um mesmo símbolo para uma quantidade considerada “pequena", como, por exemplo, a representação de 9999 no sistema de numeração egípcio, que você irá ver mais tarde.

Há mais de 2000 anos, o sistema de numeração utilizado pelos hindus era parecido com o sistema de numeração grego e foi-se modificando com o passar dos tempos.

Com a tradução de uma obra hindu, pelos árabes, no século VIII d.C., seu sistema de numeração passou a ser conhecido pelos estudiosos árabes.

No século IX d.C., um matemático árabe chamado Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi (daí a origem da  palavra "algarismo") passou a estudar o sistema de numeração hindu, colocando seus manuscritos em um livro traduzido na Europa e divulgado com a expansão da cultura árabe.

Por essa razão, o sistema de numeração decimal é chamado de sistema hindu-arábico ou indo-arábico.

Até chegarmos aos dez símbolos indo-arábicos – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – que hoje utilizamos, houve muitas modificações na sua forma. Veja, por exemplo, a representação dos numerais pelos árabes orientais no século XVI d.C. e que ainda é utilizada:

Observe formas de escrita do numeral 7 por diferentes povos, alguns com uso das letras do alfabeto.

3. Sistema de numeração egípcio

Há cinco mil anos, os egípcios usavam um sistema de numeração em que não existia um símbolo para o zero. Sua escrita hieroglífica era usada em monumentos e em obras literárias escritas em papiro.

Os algarismos hieroglíficos egípcios são:

               

  Exemplos:

Características do sistema de numeração egípcio:

• É aditivo, isto é, os valores dos símbolos são somados uns aos outros para representar as quantidades.
  
  
• Não é posicional, isto é, o valor do número não depende da posição dos símbolos na sua representação.
  
  
  
• Utiliza a base 10. Note que a cada grupo de 10 símbolos iguais corresponde um outro símbolo.
  
  

4. Sistema de numeração romano

Há cerca de 2000 anos, os romanos usavam um sistema de numeração que também não possuía um símbolo para o zero.

Os algarismos romanos são:

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Exemplos:

Podemos escrever:

MMM = 3000 ou III = 300

Quando um traço horizontal é colocado acima do símbolo, ele fica multiplicado por 1000; dois traços horizontais, por 1 000 000; e assim por diante

Características do sistema de numeração romano:

• Não é exclusivamente aditivo, pois, conforme a colocação, seus símbolos são somados ou subtraídos. Verifique:
• a) Dois ou três símbolos iguais, escritos lado a lado, são somados.

Exemplos:

II = 2                                        III = 3                                           XXX = 30
1 + 1 = 2                                   1 + 1 + 1 = 3                                 10 + 10 + 10 = 30

CC = 200                                   MMM = 3000
100 + 100 = 200                         1000 + 1000 + 1000 = 3000

b) Um símbolo de menor valor, escrito à direita de outro símbolo de maior valor, é somado.

Exemplos:

XII = 12                                    CXXX = 130                                  MDI = 1501
10 + 1 + 1                                 100 + 10 + 10 + 10                        1000 + 500 + 1

c) Um símbolo de menor valor, escrito à esquerda de outro símbolo de valor maior, é subtraído do símbolo de valor maior.

Exemplos:

IX = 9                                       CD = 400                                      CM = 900
10 - 1 = 9                                  500 - 100 = 400                            1000 - 100 = 900

d) É posicional, de certa forma, pois o valor do número depende da posição dos símbolos.

Exemplos:

XII = 12                                     MDC = 1600                                  XL = 40
IX = 9                                        MCD = 1400                                  LX = 60

e) Não possui uma base definida. Os símbolos que podem ser repetidos até 3 vezes são I, X, C e M, enquanto os símbolos V, L e D nunca são repetidos.

Exemplos:

Repetimos no máximo 3 vezes:

III = 3                                        XXX=30
CCC = 300                                  MMM = 3000

Não podemos escrever:

	escrevemos X
	escrevemos XV
	escrevemos C
	escrevemos CL
	escrevemos M
	escrevemos MD

Observação: O número 4 era escrito IIII, como se vê em relógios antigos, principalmente em catedrais. Hoje, 4 = IV.

Nos dias de hoje, o sistema de numeração romano é usado para indicar capítulos em livros, séculos, em relógios etc.

Estamos no século XXI d.C. (século é um período de cem anos), no terceiro milênio (período de mil anos) e na primeira década (período de dez anos).

Considerando séculos e milênios (d.C.), temos:

século I                     - do ano 1 ao ano 100
século II                    - do ano 101 ao 200
                                             
século XV                  - do ano 1401 ao ano 1500
                                            
século XVIII               - do ano 1701 ao ano 1800
século XIX                 - do ano 1801 ao ano 1900
século XX                  - do ano 1901 ao ano 2000
século XXI                 - do ano 2001 ao ano 2100

primeiro milênio           - do ano 1 ao ano 1000
segundo milênio          - do ano 1001 ao ano 2000
terceiro milênio           - do ano 2001 ao ano 3000

O descobrimento do Brasil ocorreu em 22/4/1500, ou seja, no século XV e no segundo milênio.

Em algarismos romanos, temos:

XXII / IV / MD

A Proclamação da República ocorreu em 15/11/1889, ou seja, no século XIX e no segundo milênio.

Em algarismos romanos, temos:

XV / XI / MDCCCLXXXIX

A inauguração de Brasília ocorreu em 21/4/1960, ou seja, no século XX e no segundo milênio.

Em algarismos romanos, temos:

XXI / IV / MCMLX

Quais as vantagens do sistema de numeração decimal?

O sistema de numeração decimal é multiplicativo posicional e apresenta o valor posicional (relativo) do algarismo.

Exemplo:

No número 4567, o valor relativo do 4 é 4000, do 5 é 500, do 6 é 60 e do 7 é 7.

Obrigado pela leitura, um grande abraço e até a próxima! 

Professor Leonardo Bezerra

Dízima periódica

As dízimas periódicas fazem parte do conjunto dos Números Racionais, o mesmo é representado pelo símbolo . Esse conjunto é formado pela reunião dos números: naturais, inteiros, decimais, frações e dízima periódica. A representação simbólica desse conjunto é dada por:

A dízima periódica é um número decimal que possui repetição de termos numéricos depois da vírgula. A partir da dízima periódica é possível obter a fração que a gerou, ela é chamada de Fração Geratriz.
O número que repete infinitamente na dízima periódica é chamado de período, o mesmo pode ser do tipo simples ou composto.

Período simples

Quando a dízima periódica é do tipo simples, o seu período é composto por um mesmo número ou conjunto de números que se repeti infinitamente.
Exemplo:

• 0,222... Período simples igual a 2
• 1,2424... Período simples igual a 24

Período composto

Uma dízima periódica é considerada composta, quando a mesma apresenta um anteperíodo que não se repete.
Exemplo:

• 0,2444... anteperíodo igual a 2 e período igual a 4
• 4,3522... anteperíodo igual a 35 e período igual a 2

Vamos agora aprender como transformamos dízima periódica simples e composta em fração.

Transformação de dízima periódica simples em fração

Para realizarmos essa transformação, devemos utilizar o período como numerador da fração e o denominador será formado pelo dígito 9. O que determina a quantidade de dígitos 9 que serão utilizados é a quantidade de termos do período. Observe os exemplos:
Exemplo 1: Transforme a dízima periódica 0,222... em fração.

O numerador da fração é 2, pois ele é o período da dízima. Já o denominador é 9, pois o período e composto por somente um número.
Exemplo 2: Transforme a dízima periódica 1,2424... em fração.
Como a dízima possui uma parte inteira temos que destaca-la, fazendo a fração somente da parte decimal.

Nessa dízima periódica, o período é representado por 24, por esse motivo ele é o numerador. Já o denominador e 99, por que o período é composto por dois números.
Note que é uma fração mista, podemos transformá-la em uma fração imprópria:

Transformação de dízima periódica composta em fração

Para transformarmos uma dízima periódica composta em fração, devemos descobrir o número referente ao numerador e denominador. O numerador será formado pela seguinte subtração:
(Anteperíodo com período) – (anteperíodo)
Já o denominador é formado por 9 e 0, sendo que o 9 será a quantidade de dígitos do período e o zero a quantidade de dígitos do anteperÍodo. Para compreender melhor como realizamos essa transformação, acompanhe o exemplo a seguir:
Exemplo 3: Transforme a dízima periódica composta 0,2444 em fração geratriz.
Anteperíodo = 2
Quantidade de 9 no denominador: 1
Período = 4
Quantidade de 0 no denominador: 1
Fração Geratriz

 

Não entendeu? Revise aqui!

Dízima Periódica: Questões resolvidas e teoria

     Nesse artigo estudares definição, classificação e exercícios sobre dízima periódica

        Definição

Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente.

Exemplos:

7/3 = 2,333

         1/9 = 0,111111111…

        Classificação

As dízimas periódicas são divididas em:

Dízimas periódicas simples: Ocorre Quando o período aparece logo após à virgula.

Exemplos:

2/3 = 0,6666666……. Período: 6 

4/33 = 0,1212121212121212.... Período: 12

Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. 

Neste caso esta parte da dízima periódica não é considerada e exclui-se então esta parte da parte periódica.

Exemplos: 44/45 = 0,977777…. Período: 7 , Parte não periódica: 9

                 35/36 = 0,972222…. Período: 2 , Parte não periódica: 

          Formação de uma fração geratriz

Todos os números com uma expansão decimal infinita ou finita e periódica sempre são números racionais.

Neste caso, é fato que sempre existem frações capazes de representá-los. A estas frações chamamos de frações geratrizes.

         Geratriz de uma Dízima Periódica Simples

          Exemplo 1:

   ► 1 algarismo (se ocorre a repetição de um algarismo na dizima periódica simples, no exemplo foi o 5, o número 9 deve ser acrescido no denominador).

Exemplo 2:

0,595959... = 59/99 ► 2 algarismos (se ocorre a repetição de dois algarismos na dízima periódica simples, no exemplo foi o 59,  mais um número 9 deve ser acrescido no denominador ficando então, o 99).

Exemplo 3: 

0,557557557... = 557/999 ► 3 algarismos (se ocorre a repetição de três algarismos na dízima periódica simples, no exemplo foi o 557, mais um número 9 deve ser acrescido no denominador ficando então, o 999).

Geratriz de uma Dízima Periódica Composta

           Exemplo1:  0,27777…
Aqui, a dica é um pouco diferente: para cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9 no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no denominador.

No caso do numerador, faz-se a seguinte conta:
(parte inteira com antiperíodo e período) – (parte inteira com antiperíodo)

Assim:

       Exemplo 2: 2,4732121212… (o período tem 2 algarismos e o antiperíodo tem 3 algarismos)

Exercícios  resolvidos Dízimas Periódicas 

1) Qual a fração geratriz da dízima periódica 0,12343434...?      

X = 0,123434…
100x = 12,3434… (isolamos o período na parte decimal)
Multiplicamos por 100 (pois o período tem dois algarismos)
10.000x = 1234,3434…
10.000x – 100x = 1234,3434… – 12,3434…
9900x = 1222
x = 1222/9900
x = 611/4950

2) determine a fração geratriz da dízima periódica 0,23333...

Obrigado pela leitura, um grande abraço e até a próxima! 

Professor Leonardo Bezerra

Como aprender a Regra de Sinais?

Regras usadas a partir do 7º ano do Ensino Fundamental II quando estudamos o conjunto dos números inteiros (Z).

Multiplicação e Divisão

Desde os tempos antigos que as parcerias entre os primeiros reinos e estados são regidas pela regra dos sinais para o produto:

- os amigos dos meus amigos são meus amigos: (+) x (+) = (+)
- os amigos dos meus inimigos são meus inimigos: (+) x (-) = (-)
- os inimigos dos meus amigos são meus inimigos: (-) x (+) = (-)
- os inimigos dos meus inimigos são meus amigos: (-) x (-) = (+)

  

(OBS: Quando vem dois sinais juntos também usamos esta regra) 

Adição e Subtração

 

Há algum tempo eu vinha recebendo e-mails de pessoas que diziam ter dificuldades com as regras de sinais e que precisavam aprender esse conceito de alguma forma. Hoje decidi criar este pequeno artigo para explicar como essa regra funciona e como podemos aprender a grande maioria de seus conceitos utilizando situações do dia a dia. Irei dividir essa publicação em duas por ser muito longa e para poder explicar melhor cada caso específico e suas principais características.

Regra dos sinais para: Soma e Subtração

Quando estamos aplicando a regra dos sinais para soma e subtração devemos levar em consideração 3 casos em específico, são eles:

• número negativo com número negativo (1° caso)
• número positivo com número positivo (2° caso)
• número negativo com número positivo ou vice-versa (3° caso)

Para cada caso vamos executar uma determinada ação, veja:

Explicando o 1° caso

Quando temos dois números negativos repetimos o sinal de subtração e somamos esses dois números. 

Exemplos:

- 4 - 3 = - (3 + 4) = - 7
- 2 - 10 = - (2 + 10) = - 12
- 6 - 15 = - (6 + 15) = - 21

Contextualizando o 1° caso

Para entender melhor essa regra vamos imaginar uma situação em que você vai a mercearia perto de sua casa, na qual você já tem costume de comprar mercadorias a muito tempo. Suponha que um belo dia você estava sem dinheiro e precisava muito comprar 1 Kg de feijão no valor de 4 reais, então como o dono da mercearia já lhe conhecia ele deixou que você pagasse depois, logo você ficou devendo a ele 4 reais ou, em outras palavras, ficou com saldo negativo de 4 reais (- 4) nessa mercearia. 

Até ai tudo bem, mas vamos imaginar novamente outra situação em que você lembrou que deveria comprar 3 reais de ovos na mesma mercearia e que não tinha o dinheiro para pagar o que já estava devendo e nem para comprar os ovos, mas como o dono da mercearia lhe conhecia a muito tempo deixou que você pagasse tudo isso depois, logo sua dívida que antes era de apenas 4 reais passou a ser de 7 reais, pois você havia comprado mais 3 reais de ovos e não havia pagado ainda.

Note que que com esse exemplo fica mais claro de compreender por que dois valores negativos se somam quando estão nas características do primeiro bloco deste artigo, ou seja, nesse caso não estamos trabalhando nem com multiplicação e nem com a divisão. 

Explicando o 2° caso

Quando temos dois números positivos repetimos o sinal de adição e somamos esses dois números. 

Exemplos:

+ 12 + 8 = + (12 + 8) = + 20
+ 10 + 16 = + (10 + 16) = + 26
+ 15 + 2 = + (15 + 2) = + 17
+ 11 + 46 = + (11 + 46) = + 57

Contextualizando o 2° caso

João é filho de Marcos e Maria. Todo final de mês João recebe uma mesada de seus pais no valor de 50 reais, para serem gastos ao longo do próximo mês como ele achar melhor. Um certo mês, João resolveu não gastar todo o seu dinheiro e acabou guardando 12 reais para o próximo mês. No final deste mês, João recebeu novamente sua mesada no valor de 50 reais e como já tinha 12 reais guardados, acabou ficando com um valor final de 62 reais para gastar no próximo mês.

Nota: Essa regra é a mais simples de todas e a que primeiro aprendemos quando estudamos operações básicas, portanto não necessita de exemplos tão complicados para explicarmos ela. 

Explicando o 3° caso

Quando temos um número negativo e outro positivo ou vice-versa devemos repetir o sinal do maior número em módulo e depois devemos subtrair o maior número (em módulo) pelo menor número (também em módulo). 

Exemplos:

- 20 + 7 = - 13
(repetimos o sinal do número 20 por ser maior em módulo do que o número 7 e depois subtraímos o 20 por 7 pelo fato de 20, em módulo, ser maior do que 7, em módulo.) 

17 - 8 = + 9
(repetimos o sinal do número 17 por ser maior em módulo do que o número 8 e depois subtraímos o 17 por 8 pelo fato de 17, em módulo, ser maior do que 8, em módulo.)

Fique por dentro:

O módulo de um número nada mais é do que pegar a distância desse número para a origem da reta numérica, ou em outras palavras, pegar o valor positivo desse número. O módulo é representado por duas barras dispostas uma no início e outra no fim do número. 

Exemplos:

| 9 | = 9       lê-se: o módulo de nove é igual a nove

| -4 | = 4     lê-se: o módulo de menos quatro é igual a quatro
| 6 | = 6       lê-se: o módulo de seis é igual a seis

| -2 | = 2     lê-se: o módulo de menos dois é igual a dois

| 2 | = 2      lê-se: o módulo de dois é igual a dois

Contextualizando o 3° caso

Lembra do João, filho do Marcos e da Maria? Pois é, vamos usar ele novamente neste exemplo, acompanhe. Um belo dia João resolveu ir à praça com seus quatro amigos e levou consigo 12 reais. Chegando na praça decidiu comprar um sorvete para ele e para cada um de seus amigos, pois estava de bom humor e queria aproveitar o momento. Sabendo que cada sorvete custava 3 reais os cinco sorvetes custaram 15 reais no total (5x3= 15), mas como João só tinha 12 reais ele acabou ficando com uma dívida na sorveteria de 3 reais, ou seja, saldo negativo de 3 reais. (12 - 15 = - 3)

João deu sorte por causa que o dono da sorveteria conhecia ele seus pais, então deixou que ele pagasse a dívida no outro dia e vendeu os sorvetes para ele e seus amigos. No dia seguinte, João foi na sorveteria com 10 reais para pagar a sua dívida de ontem e como havia ficado devendo apenas 3 reais, logo, ele recebeu de troco o valor de 7 reais, ou seja, ficou com um saldo positivo de 7 reais. (- 3 + 10 = + 7)

Dica para ajudar nessas regras

Sempre que estiver trabalhando com sinais e você perceber que existem apenas as operações de soma e subtração envolvidas em algum cálculo, tente imaginar essas operações aplicadas em situações que envolvam dinheiro, como nos exemplos que eu citei neste artigo do "João" e sua mesada. Você vai perceber como fica fácil resolver operações com sinais quando você aborda-os neste contexto.

Você tem alguma outra dica para não errarmos na hora dessas operações? Acha que regra de sinais é um conteúdo que ainda é sinônimo de dificuldade para muitas pessoas? Comente neste artigo, deixe sua opinião, compartilhe seu conhecimento. Ninguém é tão pequeno que não tenha algo a ensinar e nem tão grande que não tenha algo para aprender.

REGRA DE SINAIS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

O nosso desafio de hoje é aprender a somar números inteiros negativos e positivos usando a reta numérica, dando continuidade ao estudo anterior sobre Números inteiro relativos. Como já dissemos antes, na disciplina Física é indispensável saber operar com a reta numérica. Antes, vamos revisar as regras específicas para adição de números inteiros de mesmo sinal e de sinais diferentes. Para números inteiros de mesmo sinal a regra é a seguinte:

A soma de números inteiros de mesmo sinal é obtida conservando-se o sinal comum às parcelas e adicionando-se seus módulos.

Exemplos:

a) (+5) + (+3) = +8 ou 5 + 3 = 8;

Explicando a regra: veja que o sinal do 5 é o mais (+) e o sinal do 3 também é o mais (+), portanto, as parcelas possuem sinais iguais (+) ou sinais comuns. O módulo de 5 é 5 e o módulo de 3 é 3. Regra: somar normalmente os módulos da parcelas (5 + 3 = 8) e conservar o sinal comum às parcelas (+) no resultado, ou seja, o resultado será +8 ou 8.

b) (-4) + (-6) = -10 ou -4 - 6 = -10;

Explicando a regra: veja que o sinal do 4 é o menos (-) e o sinal do 6 também é o menos (-), portanto, as parcelas possuem sinais iguais (-) ou sinais comuns. O módulo de -4 é 4 e o módulo de -6 é 6. Regra: somar normalmente os módulos da parcelas (4 + 6 = 10) e conservar o sinal comum às parcelas (-) no resultado, ou seja, o resultado será -10.

Vejamos as regras específicas para adição de números inteiros de sinais diferentes:

Para adicionarmos parcelas de sinais diferentes (não opostas), subtraímos seus módulos e damos ao resultado o sinal da parcela de maior módulo.

Exemplos:

a) (-10) + (+3) = -7 ou -10 + 3 = -7.

Explicando a regra: veja que o sinal do 10 é o menos (-) e o sinal do 3 é o mais (+), portanto, as parcelas possuem sinais diferentes. O módulo de -10 é 10 e o módulo de 3 é 3. Regra: subtrair normalmente os módulos da parcelas (10 - 3 = 7), localizar o sinal da parcela de maior módulo (a parcela de maior módulo é o 10 e o sinal que a segue é o menos) e conservar este sinal no resultado (7), ou seja, o resultado será -7.

b) (+5) + (-11) = -6 ou 5 - 11 = -6.

Explicando a regra: veja que o sinal do 5 é o mais (+) e o sinal do 11 é o menos (-), portanto, as parcelas possuem sinais diferentes. O módulo de 5 é 5 e o módulo de -11 é o 11. Regra: subtrair normalmente os módulos da parcelas (11 - 5 = 6), localizar o sinal da parcela de maior módulo (a parcela de maior módulo é o 11 e o sinal que a segue é o menos) e conservar este sinal no resultado (6), ou seja, o resultado será -6.

Agora vamos dar continuidade, a partir da 3º questão, às operações de soma de números inteiros negativos e positivos usando a reta numérica. No estudo anterior paramos na 2ª questão, na letra a.

2º) Continuação da postagem anterior: calcule, usando a reta numérica, as seguinte somas:

b) (-2) + (-4)

Sabemos que (-2) + (-4) = -6 ou -2 - 4 = -6. Vamos entender como isso acontece na reta numerada. A resposta está indicada pela seta maior lilás, embaixo da reta numerada.

Técnica: Imagine você caminhando na reta numerada da origem (0) para a esquerda (números negativos).

- A partir da origem (0) conte 2 passos para a esquerda (-2) e pare;

- A partir de onde você parou (no número -2) conte mais 4 passos para a esquerda (-4) e pare. Quantos passos você deu desde a origem até onde você parou pela segunda vez? (-2 passos) + (-4 passos) = -6 passos, ou seja, seis passos para a esquerda. Você entendeu agora porque, fisicamente, (-2) + (-4) = -6?

Agora, vamos exercitar a soma com números inteiros negativos e positivos usando a reta numérica:

3º) Calcule, usando a reta numérica, as seguintes somas:

a) (+4) + (-6)

Sabemos que (+4) + (-6) = -2 ou 4 - 6 = -2. Mas vamos entender como isso acontece na reta numerada. A resposta está indicada pela seta verde.

Técnica: Imagine você caminhando na reta numerada da origem (0) para a direita (números positivos) e depois voltando para a esquerda (números negativos).

- A partir da origem (0) conte 4 passos para a direita (+4) e pare.

- A partir de onde você parou (no número 4-> ponta da seta vermelha) volte 6 passos (-6 passos para a esquerda -> ponta da seta roxa) e pare (no -2). Agora conte da origem (0) até onde você parou pela segunda vez (ponta da seta roxa): 0 – 2 = -2 passos, ou seja, (+4 passos) + (-6 passos) = -2 passos (ponta da seta verde que equivale a 2 passos para a esquerda da origem). Agora sabemos por que 4 - 6 = -2.

b) (+4) + (-7)

Sabemos que (+4) + (-7) = -3 ou 4 - 7 = -3. Mas vamos entender como isso acontece na reta numerada. A resposta está indicada pela seta verde.

Técnica: Imagine você caminhando na reta numerada da origem (0) para a direita (números positivos) e depois voltando para a esquerda (números negativos).

- A partir da origem (0) conte 4 passos para a direita (+4) e pare.

- A partir de onde você parou (no número 4-> ponta da seta vermelha) volte 7 passos (-7 passos para a esquerda -> ponta da seta roxa) e pare (no -3). 

- Agora conte da origem (0) até onde você parou pela segunda vez (ponta da seta roxa): 0 – 3 = -3 passos, ou seja, (+4 passos) + (-7 passos) = -3 passos (ponta da seta verde que equivale a 3 passos para a esquerda da origem). Agora sabemos por que 4 - 7 = -3.

Obrigado pela paciência. Bons estudos! Se comentar escreva seu nome. Boa sorte!

Obrigado pela leitura, um grande abraço e até a próxima! 

Professor Leonardo Bezerra